Toán 11 GIỚI HẠN Hàm số liên tục FULL bài tập

Toán 11 GIỚI HẠN Hàm số liên tục Link tải dưới bài viết nhé 

Mục lục

HÀM S LIÊN TC 2

Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 2

Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số  trên một tập 8

Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm 14

 

HÀM SỐ LIÊN TỤC

 

  1. Định nghĩa

Cho hàm số  xác định trên khoảng K và

1) Hàm số  liên tục tại

2) Hàm số  không liên tục tại  ta nói hàm số gián đoạn tại

liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

liên tục trên đoạn  nếu nó liên tục trên   và

, .

  1. Các định lý cơ bản.

Định lý 1 :

  1. a) Hàm số đa thức liên tục trên tập R
  2. b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Định lý 2. Các hàm số  liên tục tại .  Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tai x0, thương  liên tục nếu .

Định lý 3.  Cho hàm số f liên tục trên đoạn .

Nếu  và M là một số nằm giữa  thì tồn tại ít nhất một số  sao cho

Hệ quả :  Cho hàm số f liên tục trên đoạn .

Nếu  thì tồn tại ít nhất một số  sao cho .

Chú ý : Ta có thể phát biểu hệ quả trên theo cách khác như sau :

Cho hàm số f liên tục trên đoạn . Nếu  thì phương trình  có ít nhất một nghiệm thuộc .

Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Phương pháp:

Tìm  giới hạn của hàm số  khi  và tính

Nếu tồn tại  thì ta so sánh  với .

Chú ý:

  1. Nếu hàm số liên tục tại thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó
  2. .
  3. Hàm số liên tục tại .
  4. Hàm số liên tục tại điểm  khi và chỉ  khi .

Chú ý:

Hàm số  liên tục tại  khi và chỉ khi

.

Hàm số  liên tục tại  khi và chỉ khi

.

 

Các ví dụ

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại

  1. 2.

Lời giải:

  1. Hàm số xác định trên

Ta có  và

.

Vậy hàm số không liên tục tại .

  1. Ta có và   ;

Vậy hàm số gián đoạn tại .

Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra

  1. tại điểm 2.

Lời giải:

  1. Ta có và

Vậy hàm số liên tục tại điểm .

  1. Ta có

Suy ra không tồn tại giới hạn của hàm số  khi .

Vậy hàm số gián đoạn tại .

Ví dụ 3 Tìm  để hàm số sau liên tục tại

  1. 2.

Lời giải:

  1. Ta có và

Hàm số liên tục tại điểm .

  1. Ta có :

Hàm số liên tục tại

.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất

  1. Hàm số liên tục tại
  2. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại
  3. Hàm số không liên tục tại
  4. Tất cả đều sai

Lời giải:

Ta có :

Hàm số liên tục tại điểm .

 

Bài 2 Cho hàm số  . Khẳng định nào sau đây đúng nhất

  1. Hàm số liên tục tại
  2. Hàm số liên tục tại mọi điểm
  3. Hàm số không liên tục tại
  4. Tất cả đều sai

Lời giải:

Hàm số không liên tục tại .

Bài 3 Cho hàm số 3.  . Khẳng định nào sau đây đúng nhất

  1. Hàm số liên tục tại tại và .
  2. Hàm số liên tục tại , không liên tục tại điểm .
  3. Hàm số không liên tục tại tại và .
  4. Tất cả đều sai

Lời giải:

Hàm số liên tục tại , không liên tục tại điểm .

 

Bài 4. Chọn giá trị  để các hàm số liên tục tại điểm .

A.1 B.2 C.3 D.4

Lời giải:

Ta có :

Vậy ta chọn

Bài 5. Chọn giá trị  để các hàm số liên tục tại điểm .

A.1 B.2 C.  D.

Lời giải:

Ta có :

Vậy ta chọn .

Bài 6 Cho hàm số  .  Khẳng định nào sau đây đúng nhất

  1. Hàm số liên tục tại tại tại
  2. Hàm số  liên tục tại mọi điểm
  3. Hàm số không liên tục tại tại ..
  4. Tất cả đều sai

 

Lời giải:

Ta có:  và

 

Suy ra

Vậy hàm số không liên tục tại .

Bài 7 Cho hàm số 3.  . Khẳng định nào sau đây đúng nhất

  1. Hàm số liên tục tại
  2. Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại
  3. Hàm số không liên tục tại
  4. Tất cả đều sai

Lời giải:

Ta có:

 

Vậy hàm số liên tục tại .

Bài 8 Cho hàm số    . Khẳng định nào sau đây đúng nhất

  1. Hàm số liên tục tại
  2. Hàm số liên tục tại mọi điểm
  3. Hàm số không liên tục tại tại
  4. Tất cả đều sai

Lời giải:

Ta có :

Hàm số liên tục tại điểm .

Bài 9 Cho hàm số  

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất

  1. Hàm số liên tục tại
  2. Hàm số liên tục tại mọi điẻm
  3. Hàm số không liên tục tại
  4. Tất cả đều sai

Lời giải:

Ta có :

Hàm số không liên tục tại .

Bài 10.  Tìm  để các hàm số  liên tục tại

  1. B. C.0 D.1

 

Lời giải:

Ta có :

Suy ra hàm số liên tục tại .

Bài 11.  Tìm  để các hàm số  liên tục tại

  1. B. C.  D.1

Lời giải:

Ta có :

 

Hàm số liên tục tại .

Bài 12.  Tìm  để các hàm số  liên tục tại

  1. B. C.  D.1

Lời giải:

Ta có :

Suy ra hàm số liên tục tại .

 

Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số  trên một tập

Phương pháp:Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.

Các ví dụ

Ví dụ 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục  số:

  1. 2.

Lời giải:

  1. TXĐ:

Vậy hàm số liên tục trên

  1. Điều kiện xác định:

Vậy hàm số liên tục trên .

Ví dụ 2 Xác định a để hàm số  liên tục trên .

Lời giải:

Hàm số xác định trên

Với  hàm số liên tục

Với  hàm số liên tục

Với  ta có

Hàm số liên tục trên  hàm số liên tục tại

.

Vậy  là những giá trị cần tìm.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1. Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

  1. Hàm số liên tục trên
  2. TXĐ : .Ta có hàm số liên tục  tại mọi và hàm số gián đoạn tại
  3. Hàm số liên tục tại
  4. Tất cả đều sai

Lời giải:

TXĐ : .Ta có hàm số liên tục  tại mọi  và hàm số gián đoạn tại

 

Bài 2. Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

  1. Hàm số liên tục trên
  2. Hàm số liên tục tại mọi điểm
  3. TXĐ :
  4. Hàm số liên tục tại mọi điểm .

 

Lời giải:

TXĐ :

Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm

hàm số liên tục trái tại

hàm số liên tục phải tại

Hàm số gián đoạn tại mọi điểm .

Bài 3. Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

  1. Hàm số liên tục trên
  2. Hàm số liên tục tại mọi điểm
  3. TXĐ :
  4. Hàm số gián đoạn tại các điểm .

Lời giải:

TXĐ :

Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc D và gián đoạn tại các điểm

.

Bài 4. Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

  1. Hàm số liên tục trên
  2. Hàm số liên tục tại mọi điểm
  3. Hàm số không liên tục trên
  4. Hàm số gián đoạn tại các điểm .

 

Lời giải:

TXĐ :

Với  hàm số liên tục

Với  hàm số liên tục

Tại  ta có :

;

Hàm số không liên tục tại .

Bài 5. Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

  1. Hàm số liên tục trên
  2. Hàm số không liên tục trên
  3. Hàm số không liên tục trên
  4. Hàm số gián đoạn tại các điểm .

Lời giải:

Hàm số xác định với mọi x thuộc

Với  hàm số liên tục

Với  hàm số liên tục

Tại  ta có :

;

Hàm số liên tục tại .

Vậy hàm số liên tục trên .

Bài 6. Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

  1. Hàm số liên tục trên
  2. Hàm số không liên tục trên
  3. Hàm số không liên tục trên
  4. Hàm số gián đoạn tại các điểm .

 

Lời giải:

Hàm số liên tục tại mọi điểm  và gián đoạn tại

Bài 7. Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

  1. Hàm số liên tục trên
  2. Hàm số không liên tục trên
  3. Hàm số không liên tục trên
  4. Hàm số gián đoạn tại các điểm .

Lời giải:

Hàm số liên tục tại mọi điểm  và gián đoạn tại

Bài 8. Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

  1. Hàm số liên tục trên
  2. Hàm số không liên tục trên
  3. Hàm số không liên tục trên
  4. Hàm số gián đoạn tại các điểm .

Lời giải:

Hàm số liên tục tại mọi điểm và gián đoạn tại

Bài 9. Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

  1. Hàm số liên tục trên
  2. Hàm số không liên tục trên
  3. Hàm số không liên tục trên
  4. Hàm số gián đoạn tại các điểm .

 

Lời giải:

Hàm số liên tục tại mọi điểm và gián đoạn tại .

 

Bài 10. Xác định để các hàm số  liên tục trên

  1. B. C.  D.

 

Lời giải:

Hàm số liên tục trên

Bài 11. Xác định để các hàm số  liên tục trên

  1. B. C.  D.

Lời giải:

Hàm số liên tục trên .

Bài 12. Tìm  để các hàm sốliên tục trên

  1. B. C.  D.

Lời giải:

Với  ta có  nên hàm số liên tục trên khoảng

Do đó hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại

Ta có:

 

 

Nên hàm số liên tục tại

Vậy  là những giá trị cần tìm.

Bài 13. Tìm  để các hàm sốliên tục trên

  1. B. C.  D.

Lời giải:

Với  ta có  nên hàm số liên tục trên

Với  ta có  nên hàm số liên tục trên .

Do đó hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại

Ta có:

Do đó hàm số liên tục tại

Vậy  thì hàm số liên tục trên .

Bài 14. Tìm  để các hàm sốliên tục trên

  1. B. C.  D.

Lời giải:

Với  ta có hàm số liên tụC.

Để hàm số liên tục trên  thì hàm số phải liên tục trên khoảng  và liên tục tại .

Hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi tam thức

TH 1:

TH 2:

Nên  (*) thì

 

 

Hàm số liên tục tại  (thỏa (*))

Vậy  là những giá trị cần tìm.

Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp :

Để chứng minh phương trình  có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số  liên tục trên D và có hai số  sao cho .

Để chứng minh phương trình  có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số  liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau  (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho .

Các ví dụ

Ví dụ 1 Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng một nghiệm.

  1. 2.

Lời giải:

  1. Xét hàm số là hàm liên tục trên

Mặt khác:

Nên phương trình  có ít nhất một nghiệm thuộc .

Giả sử phương trình có hai nghiệm .

Khi đó:

(1)

Do

Nên (1)

Vậy phương trình luôn có đúng một nghiệm.

  1. Điều kiện:

Phương trình

Xét hàm số  liên tục trên

Nên phương trình  có ít nhất một nghiệm

Giả sử phương trình  có hai nghiệm

Khi đó:

(Vì )

Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất.

 

Ví dụ 2 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :

  1. 2.

Lời giải:

  1. Ta có hàm số liên tục trên R và

Suy ra phương trinh  có ít nhất một nghiệm thuộc .

  1. Ta có hàm số liên tục trên R và . Suy ra phương trinh  có ít nhất một nghiệm thuộc .

Ví dụ 3.  có đúng 5 nghiệm phân biệt

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với

(1)

Hàm số  liên tục trên

Ta có:

Do đó phương trình  có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng

Mặt khác  là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.

 

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt

  1. 2.

Bài 2 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m, n

  1. 2.
  2. ().

Bài 3 Cho  và  là ba số thực bất kỳ thoả mãn

. Chứng minh rằng phương trình  luôn có nghiệm.

Bài 4. Chứng minh rằng phương trình :

  1. có nghiệm thuộc khoảng
  2. có năm nghiệm thuộc khoảng
  3. có hai nghiệm phân biệt.
  4. luôn có nghiệm với mọi m
  5. có nghiệm với mọi .

Bài 5 . Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: và . Chứng minh rằng phương trình :   luôn có nghiệm.

Bài 6.

  1. Cho hàm số liên tụC.Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực sao cho .
  2. Cho hàm số liên tục và Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số  sao cho .
  3. Tìm tất cả các hàm số liên tục tại thỏa: .
  4. Cho hàm số liên tục trên và thỏa .

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên  thì phương trình  luôn có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn .

Bài 7.

  1. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a ;b] và n điểm . Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm sao cho .
  2. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất các số sao cho

và .

Lời giải:

Bài 1

  1. Xét hàm số , ta có hàm số liên tục trên R và

Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng

.

Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm.

  1. Phương trình

Xét hàm số , ta có hàm số liên tục trên R và

Suy ra

Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng

.

Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm.

Bài 2

  1. Ta có hàm số liên tục trên R và

phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc

  1. Điều kiện :

Xét hàm số,liên tục trên  và

do đó phương trình  có ít nhất một nghiệm

Do đó phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm.

  1. 3. Hàm số  liên tục trên R và

phuowngt rình đã cho có ít nhất một nghiệm.

Bài 3  Đặt

có nghiệm

ta có

, suy ra phương trình  có ít nhất một nghiệm.

Bài 4. Gọi  là vế trái của các phương trình

  1. Ta có hàm số liên tục trên  và

Nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc .

  1. Ta có hàm số liên tục trên  và

Nên ta có điều phải chứng minh.

  1. Ta có hàm số liên tục trên và

Nên ta có điều phải chứng minh.

  1. Ta có hàm số liên tục trên và

Nên ta có điều phải chứng minh.

  1. Ta có hàm số liên tục trên và

Nên ta có điều phải chứng minh.

Bài 5 Ta xét .

Mặt khác từ :

* Xét

Nếu  là đa thức không, do đó f(x) sẽ có nghiệm trong (0;1)

Nếu , từ giả thiết  và

* Xét , ta có:  có nghiệm .

Bài 6.

  1. Xét hàm số ,ta có liên tục trên  và  nên tồn tại .
  2. Nếu thì ta chọn .

Nếu .

Xét hàm số , ta có hàm  liên tục trên và

Vì   nên tồn tại số  sao cho

nên tồn tại số thực  sao cho

Hay là .

  1. Ta có:

Cho

Suy ra:

Vậy f là hàm hằng.

  1. Xét hàm số , ta có là hàm liên tục trên

Suy ra tồn tại hai chỉ số  sao cho :

Hay phương trình :  có nghiệm trên .

Bài 7.

  1. Xét hàm số : liên tục trên [a ;b].

Vì f liên tục trên đoạn [a ;b] nên tồn tại giá trị lớn nhất M, nhỏ nhất m do đó  tồn tại  sao cho .

  1. Hàm số : liên tục trên và

Suy ra  hay

Mặt khác hàm số  là hàm nghịch biến trên , hàm  là hàm đồng biến trên  nên  là số duy nhất.

Hàm số  liên tục trên  và , đồng thời hàm số  đồng biến trên  nên tồn tại duy nhất số thực  sao cho .

 

Link tải về

https://drive.google.com/file/d/16Oz6T5tNqmizHQm5zkdoTPKLHY3CsAPN/view

 

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *